sexta-feira, 27 de abril de 2012

Lançamento Oblíquo (exercícios resolvidos).

Exercícios Resolvidos de lançamento Oblíquo.
01-(Ufmg-MG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas - P, Q e R -, cujas trajetórias estão representadas nesta figura:
Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que
a) t(Q) > t(P) = t(R)          b) t(R) > t(Q) = t(P)          c) t(Q) > t(R) > t(P)          d) t(R) > t(Q) > t(P)           e) d) t(R) = t(Q) = t(P)

02-(Ufsm-RS) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo a resistência do ar desprezível, a flecha descreve uma parábola
num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da flecha depois que ela abandona o arco, afirma-se:
I. A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.
II. A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no mesmo sentido.
III. A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.            b) apenas I e II.                   c) apenas II.                   d) apenas III.                    e) I, II e III.

03-(CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma um ângulo de 60° com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este ângulo é de 30°. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é:
DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR.
a) 10 m/s                b) 10√3 m/s                   c) 15 m/s                     d) 20 m/s                   e) 20√3 m/s

04-(CEFET-CE) Um caminhão se desloca em movimento retilíneo e horizontal, com velocidade constante de 20m/s. Sobre sua carroceria, está um canhão, postado para tiros verticais, conforme indica a figura. A origem do sistema de coordenadas coincide com a boca do canhão e, no instante t=0, ele dispara um projétil, com velocidade de 80m/s. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2.
Determine o deslocamento horizontal do projétil, até ele retornar à altura de lançamento, em relação:
a) ao caminhão;
b) ao solo.

05-(Ufms-MS) Em um lançamento oblíquo (trajetória mostrada na figura a seguir) em um local onde a aceleração constante da gravidade é g, sejam respectivamente, H, X e β a altura máxima, o alcance horizontal e o ângulo de lançamento do projétil, medido em relação ao eixo horizontal x. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que
(01) o tempo para que se alcance X é igual ao tempo de subida do projétil.
(02) o tempo para que se alcance X é igual ao dobro do tempo de descida do projétil.
(04) se tg(β) = 4, então H = X.
(08) a energia cinética do projétil é máxima quando é atingida a altura máxima.
(16) a energia mecânica do projétil aumenta no trecho de descida.

06-(CEFET-CE) Um aluno do CEFET em uma partida de futebol lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo
de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em m/s, será:
a) 10                    b) 17                        c) 20                       d) 30                    e) 40

07-(PUCCAMP-SP) Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão
que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento (t = 0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, considerando g=10m/s2, a expressão que o matemático encontrou foi
a) y = - 5t2 + 20t               b) y = - 5t2 + 10t                 c) y = - 5t2 + t               d) y = -10t2 + 50               e) y = -10t2 + 10

08-(Ufpe-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com velocidade inicial vo = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil? (Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2).

09-(FUVEST-SP) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo t­1, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.
c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas.
NOTE E ADOTE:
Vy é positivo quando a bola sobe
Vx é positivo quando a bola se move para a direita
10-(PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de 45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o
dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de tempo t, em segundos, é um valor mais próximo de:
Dados: g = 10 m/s2 e sen 45° = cos 45° = 0,7
a) 3,2                          b) 1,8                              c) 1,2                             d) 0,8                          e) 0,4

11- Ufjf-MG) Durante uma partida de futebol, um jogador, percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol, resolve tentar um chute de longa distância (vide figura). O jogador se encontra a 40 m do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem módulo Vo = 26 m/s e faz um ângulo de 25° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.
Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual e usando cos 25° = 0,91, sen 25° = 0,42 e g=10m/s2:
a) Faça o diagrama de forças sobre a bola num ponto qualquer da trajetória durante o seu vôo, após ter sido chutada. Identifique a(s) força(s).
b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura de 3,0 m. Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele? Justifique.
c) Se a bola passar pelo goleiro, ela atravessará a linha de gol a uma altura de 1,5 m do chão. A que distância o jogador se encontrava da linha de gol, quando chutou a bola? (Nota: a linha de gol está atrás do goleiro.)

12-(CEFET-CE) Uma roda de raio R rola uniformemente, sem escorregar, ao longo de uma superfície horizontal. Do ponto A da roda se desprende uma gota de barro, como mostra a figura a seguir.
Com que velocidade v deve se deslocar a roda, se a gota, depois de lançada ao espaço, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda após efetuar uma volta? Considere desprezível a resistência do ar.

13-(UNICAMP-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura a seguir, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m.
a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso.
b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?
c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força, FE, vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura?

14-(UNICAMP-SP) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto.
 
De acordo com o gráfico, determine:
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.
b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3m.
c) A velocidade vertical de saída do solo.

15-(PUC-SP) Futebol é, sem dúvida, o esporte mais popular de nosso país. Campos de futebol são improvisados nas ruas, nas praças, nas praias. Já os campos de futebol profissional são projetados e construídos seguindo regras e dimensões bem definidas
O comprimento do campo pode variar de um mínimo de 90m até um máximo de 120m, enquanto a medida da largura pode variar entre 45m e 90m. De qualquer maneira, independentemente das dimensões do campo, a distância entre as traves verticais de um mesmo gol é de 7,3m, e a grande área do campo, dentro da qual ficam o goleiro e as traves, tem as medidas assim definidas:
"A grande área, ou área penal, está situada em ambas as extremidades do campo e será demarcada da seguinte maneira: serão traçadas duas linhas perpendiculares à linha de meta, a 16,5m de cada trave do gol. Essas linhas se adentrarão por 16,5m no campo e se unirão a uma linha paralela à linha de meta. Em cada grande área será marcado um ponto penal, a 11,0m de distância a partir do ponto médio da linha entre as traves, eqüidistantes às mesmas, Por fora de cada grande área será traçado um semicírculo com raio de 9,2m a partir de cada ponto penal." (fig. 1)
Para alcançar o gol, os jogadores lançam mão de várias técnicas e fundamentos. Dentre esses fundamentos, um dos mais difíceis de serem executados pelos jogadores, e que está diretamente ligado às medidas do campo, é o 'lançamento'. Nestas jogadas, em que se destacaram Gerson e Pelé, dentre outros, um jogador chuta a bola que, a partir daí, sobe, descreve uma parábola sob a ação da gravidade e vai alcançar outro jogador, uns tantos metros à frente.
Instruções: Nas respostas lembre-se de deixar os processos de resolução claramente expostos.
Não basta escrever apenas o resultado final. É necessário registrar os cálculos e/ou raciocínio utilizado.
Sempre que necessário, utilize: g = 10m/s2, sen 20° = 0,35 e cos 20° = 0,95
Nas questões seguintes, eventualmente, você precisará de dados numéricos contidos no texto. Procure-os com atenção.
Para as questões seguintes, considere a fig. 2 , na qual um jogador chuta a boa com velocidade de módulo 72 km/h e em um ângulo de 20° em relação à horizontal. A distância inicial entre a bola e a barreira é de 9,5m e entre a bola e a linha do gol, 19m. A trave superior do gol encontra-se a 2,4m do solo.
Considere desprezível o trabalho de forças dissipativas sobre a bola.
a) Determine qual é a máxima altura que a barreira pode ter para que a bola a ultrapasse.
b) Determine a distância entre a trave superior e a bola, no instante em que ela entra no gol.
c) A trajetória da bola chutada pelo jogador da figura pode ser descrita pela equação y = 7/19x - (5/361)x2, na qual 'y' é a medida, em metros, da altura em que a bola se encontra, e 'x' é a medida da distância horizontal percorrida pela bola, em metros, durante seu movimento. Desenhe o gráfico cartesiano representativo do movimento da bola durante o lançamento, assinalando a altura máxima e o ponto em que a bola retornaria ao solo, caso não batesse na rede.(fig. 2)

16-(UNESP-SP) Um garoto, voltando da escola, encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, pegando a mochila pelas alças, lançou-a a partir de uma altura de 0,4 m.
Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do solo. Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia. Tomando g = 10 m/s2, calcule
a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atingir a altura máxima.
b) o ângulo de lançamento.
Dados:

17-(UNIFESP-SP) Um projétil de massa m = 0,10 kg é lançado do solo com velocidade de 100 m/s, em um instante t = 0, em uma direção que forma 53° com a horizontal. Admita que a resistência do ar seja desprezível e adote g = 10 m/s2.
a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada no ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição desse projétil no instante t = 12 s?
Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60.
b) Utilizando este pequeno trecho da trajetória do projétil:
Desenhe no ponto O, onde está representada a velocidade  do projétil, a força resultante  que nele atua. Qual o módulo dessa força?

18- (Ufc-CE) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura a seguir. O plano tem um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g, direção vertical, sentido para baixo).
  
a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento.
b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (a).

19-(UNESP-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são, respectivamente, h e s.
Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45° em relação ao solo horizontal, calcule a razão s/h.
Dado: sen 45° = cos 45° = √2/2.

20-(UNICAMP–SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere √3 =1,8 ; sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,9.
Despreze a resistência do ar.
a) Qual é o alcance do projétil?
b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?
c) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati?

21-(PUC-PR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60° com a horizontal com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na Lua.
Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos, analise as proposições a seguir:
I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra.
II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra.
III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua.
IV- A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra.

22-(FUVEST-SP-2008) No "salto com vara", um atleta corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu corpo por cima de uma barra. Para uma estimativa da altura alcançada nesses saltos, é possível considerar que a vara sirva apenas para converter o movimento horizontal do atleta (corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos de energia. Na análise de um desses saltos, foi obtida a seqüência de imagens reproduzida a seguir. Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximadamente,
Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início do salto.
a) 4 m/s                     b) 6 m/s                       c) 7 m/s                            d) 8 m/s                     e) 9 m/s

23-(Ufsm-RS-2008) Num jogo de futebol, um jogador faz um lançamento oblíquo de longa distância para o campo adversário, e o atacante desloca-se abaixo da bola, em direção ao ponto previsto para o primeiro contato dela com o solo.
Desconsiderando o efeito do ar, analise as afirmativas:
I - Um observador que está na arquibancada lateral vê a bola executar uma trajetória parabólica.
II - O atacante desloca-se em movimento retilíneo uniformemente variado para um observador que está na arquibancada lateral.
III - O atacante observa a bola em movimento retilíneo uniformemente variado.
Está(ão) CORRETA(S)
a) apenas I.                 b) apenas II.                  c) apenas I e II.                   d) apenas I e III.                   e) apenas II e III.

24-(FUVEST-SP-2009) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM).
Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa  da atleta atingiu uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime:
a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima.
b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto.
c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto.
NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar.

25-(ITA-SP-2009) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s£, assinale a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua máxima altura.
a) d = √6250 m.               b) d = √2717 m             c) d = √17100 m                d) d = √19375 m                e) d = √26875 m

26-(UDESC-SC-2009) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo.
No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta.

Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos2 30° = 0,75.
a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento.
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.
c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento.

27-(CFT-MG-010) Uma pedra, lançada para cima a partir do topo de um edifício de 10 m de altura com velocidade inicial
vo = 10m/s, faz um ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como referência, é correto afirmar que a(o)
a) máxima altura atingida é igual a 15 m.                                  b) intervalo de tempo da subida vale 3,0 s. 
c) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s.                               d) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10m/s. 

28-(PUC-RJ-010) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se
lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45o em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s2)
a) 2 m.                          b) 4 m.                             c) 6 m.                              d) 8 m.                                e) 10 m. 

29-(UNIFESP-SP-010) No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao
correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima.
Dados: g = 10,0 m/s2 e  √= 1,4
a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal).
b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da
 bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado?

30-(UEPG-PR-011)  Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto.
01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são respectivamente dadas por,
Vx = Vo . cosθ e Vy = Vo . senθ – gt 
02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por,
x = Vo . cosθ. t e y = Vo . senθ – gt2/2 
04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento.
08) O tempo que o projétil permanece no ar é t=(2Vosenθ)/g 
16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal. 

(UERJ-RJ-011) Este enunciado refere-se às questões de números 31 e 32. Um trem em alta velocidade desloca-se ao
 longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso.

31-(UERJ-RJ-011) Se a bola fosse arremessada na mesma direção, mas em sentido oposto ao do deslocamento do trem,
a distância, em metros, entre o ponto em que a bola atinge o piso e o ponto de arremesso seria igual a:
(A) 0                             (B) 5                                   (C) 10                              (D) 15

32-(UERJ-RJ-011)O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:
(A) 0,05                                     (B) 0,20                                    (C) 0,45                                     (D) 1,00

 33-(UFF-RJ-011) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida.

Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar.
(A) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo.
(B) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo.
(C) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais.
(D) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento.
(E) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial.
Resoluções
01- O tempo que a bola permanece no ar está relacionado  com a altura  ---  maior altura, maior tempo de permanência no ar  ---  R- A
02- I – Falsa – a aceleração é constante e é a aceleração da gravidade , sempre com direção vertical e sentido para baixo.
II – Correta – vide afirmação acima
III – Falsa – no ponto mais alto da trajetória a velocidade é mínima e vale V=Vx
R- C
03- Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α1 + α2=90o), e a velocidade inicial for a mesma, (no caso, 20m/so alcance horizontal é o mesmo.
R- D
04- a) Como a resistência do ar é desprezada, a velocidade horizontal inicial do projétil é constante e, em cada instante, a mesma do caminhão. Assim, se ele partiu de um ponto P da carroceria do caminhão, retornará ao mesmo ponto P e o deslocamento horizontal em relação ao caminhão será zero.
b) Vox=20m/s  ---  Vo=80m/s  ---  Vo2=Vox2 + Voy2  ---  6.400=400 + Voy2  ---  Voy=77.5m/s  ---tempo de subida  ---  Vy = Voy – gts  ---  0=77,5 – 10ts  ---  ts=7,75s  ---  tempo que demora para subir e descer e se deslocar X na horizontal  ---  t=2.7.75  ---  t=15,5s  ---  X=Vox.t=20,15,5  ---  X=310m
05- (01) Falsa – é o tempo de subida mais o tempo de descida
(02) Verdadeira – veja (1)
(04) Verdadeira – veja teoria - Se a altura maxima (hmáx) é igual ao alcance X  ---   tgα=4
(08) Ec=mV2/2  ---  na altura máxima V é mínima, portanto Ec também será mínima – Falsa
(16) Falsa – como não existe atrito, o sistema é conservativo e a energia mecânica é sempre a mesma em todos os pontos da trajetória
Soma (02 + 04) = 06
06- Na altura máxima a velocidade vetorial  não é nula, tem intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, .

Assim, Vox=20m/s  ---  Vox=Vocos60o  ---  20=Vo.1/2  ---  Vo=40m/s  ---  R- E
07- Na altura maxima  ---  hmáx=20m e t=4/2  ---  t=2s  ---  Y=Voyt – gt2/2  ---  20=Voy.2 – 10.22/2  ---  Voy=20m/s  ---  Y=Voyt – gt2/2  ---  Y=20t – 5t2   ---  R- A
08- No ponto mais alto  ---  V=Vx=Vox=20/2  ---  Vox=10m/s  ---  Vo2=Vox2 + Voy2  ---  202=102 + Voy2  ---  Voy2=300  ---  na altura máxima hmáx  ---  Vy=0  ---  Torricelli  ---  Vy2 = Voy2 – 2ghmáx  ---  02=300 – 20hmáqx  ---  hmáx=15m
09- a) Movimento na vertical  ---  no ponto A de altura máxima Vy=0 
S=So + Vot + at2/2  ---  YB) = Y(A) + Vyt – 10t2/2  ---  4,2 = 5,0 +0.t -5t2  ---  t=√0,16  ---  t=0,4s
b) Queda livre da altura Yo=5m  --- Vo=0  ---  quando chega ao solo Y=0  ---  Y=Yo + Vot –gt2/2  ---  0=5 + 0t – 5t2  ---  t=1s
Sendo o choque elástico, o tempo de subida é igual ao tempo de descida  ---  t=2s
c) Movimento vertical  ---  a batida na parede não afeta o tempo de queda (projeção na vertical) pois o choque é elástico ---  t=1s  ---  Voy=0  ---  velocidade com que chega ao solo  ---  Vy  ---  Vy=Voy – gt  ---  Vy=0 -10.1  ---  Vy=-10m/s  ---  se chega ao solo com velocidade de -10m/s, sai do mesmo com velocidade de +10m/s  ---


No movimento horizontal ela demora t=0,4s para percorrer X=6m com velocidade constante Vx  ---  X=Vxt  ---  6=Vx.0,4  ---  Vx=15m/s  ---  +15m/s para a direita (movimento progressivo) e -15m/s para a esquerda (movimento retrógrado)

10- Vox=Vocos45---  Voy=Vosen45o  ---  Vox=Voy=0,7Vo  ---  tempo que o dardo demora para para percorrer 16m na horizontal  ---  X=Voxcos45o.t  ---  16=Vo.0,7.t  ---  t=16/0,7Vo  ---  Na altura máxima Vy=0 e t=16/2.(0,7Vo)=16/1,4Vo  ---  Vy=V­oy – gt  ---  0=0,7Vo – 10t  ---  0=0,7Vo – 10.16/1,4Vo  ---  Vo=√163,2=12,8m/s  ---  t=16/0,7Vo  ---  t=16/12,8=1,8s  ---  R- B
11- a) A única força que age sobre a bola (a resistência do ar é desprezada) durante todo o movimento é a força peso, vertical e para
baixo.
b) Cálculo do tempo que a bola demora  a chegar até o goleiro percorrendo X=40m com velocidade horizontal constante e de valor Vox=Vocos25o=26.0,91  ---  Vox=23,66m/s  ---  X=Vox.t  ---  40=23,66.t  ---  t=1,69s  ---  cálculo da altura, na direção vertical, que a bola estará ao chegar ao goleiro nesse instante (t=1,69s)  ---  Y=Voyt – gt2/2  ---  Y=Vo.sen25o.t –gt2/2  ---  Y=26.0,42.1,69 – 10.(1,69)2/2  ---  Y=18,45 – 14,28  ---  Y=4,17m  ---  esse valor é maior que 3m e assim, o goleiro não consegue tocar a bola.
c) Cálculo do tempo que a bola demora para chegar à altura vertical de 1,5m  ---  Y=Vo.sen25o.t – gt2/2  ---  1,5=10,92t – 5t2  ---
5t2 -10,92t + 1,5=0  ---  Δ=119,25 – 30=89,25  ---  √Δ=9,5  ---  t=(10,92 ±9,5)/2.5  ---  considera-se o tempo maior que ocorre quando a bola já está descendo  ---  t=2,042s  ---  nesse instante a distância horizontal da linha de gol será de X=Vocos25o.t  --- 
X=26.0,91.2,042  ---  X=48,3m
12- O tempo que a gota de barro permanece no ar é o mesmo tempo que a roda demora para efetuar uma volta completa, ou seja, percorrer ΔS=2πR com velocidade constante V, que é a velocidade de translação e de rotação da roda (não derrapa) e que também é a velocidade de lançamento da gota de barro  ---  V= ΔS/Δt  ---  V=2πR/t  ---  t=2πR/V  ---  a gota de barro atinge a altura máxima hmáx na metade desse tempo, quando sua velocidade vertical Vy se anula (Vy=0)  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=V – g(πR/V)  --- 
V2=πRg  ---  V=√(πRg)
13- a) Do gráfico  ---  distância vertical que percorre  até atingir a altura máxima  ---  ΔS=125 – 93,75=31,25cm  ---  ΔS=0,3125m  ---  na altura máxima Vy=0  ---  Torricelli  ---  V­y2 = Voy2 + 2aΔS  ---  02=Voy2 – 2.10.0,3125  ---  Voy=2,5m/s  ---  função horária vertical  ---  Y=Yo + Voyt – gt2/2  ---  quando chega ao solo Y=0  ---  0=0,9375 + 2,5t – 5t2  ---  5t2 – 2,5t – 0,9375=0  ---  √Δ=5  --- 
t=(2,5 ±5)/10  ---  t=0,75s
b) Na horizontal  ---  quando X=24m  ---  t=0,75s  ---  X=Vox.t  ---  24=Vox.0,75  ---  Vox=32m/s
c) sem efeito  ---  a força resultante sobre a bola é seu peso  ---  P=mg  ---  a=g  ---  com efeito  ---  F=3P (para cima) e P (para baixo)  ---  FR=3P – P=2P=2mg  ---  a’=2g  ---  como a aceleração é proporcional à velocidade, ela também dobrará  ---  V’+2.32  ---  V’=64m/s
14- a) Yo=0  ---  quando t=0,3s  ---  Y=1,2m  ---  Y=Yo + Voyt + at2/2  ---  1,2=0 + 0,3Voy= + a.(0,3)2/2  ---  0,3Voy + 0,045a=1,2  I
quando t=0,8s  ---  Y=1,2m  ---  Y=Yo + Voyt + at2/2  ---  1,2=0 + Voy.0,8 + a(0,8)2/2  ---  0,8Voy + 0,32a = 1,2  II  ---  resolvendo o sistema composto por I e II  ---  a=-10m/s2=g  e Voy=5,5m/s  ---  tempo que demora para atingir a altura máxima onde Vy=0  ---  Vy=Voy + at  ---  0=5,5 – 10t  ---  t=0,55s  ---  Ymáx= Yo + Voyt + at2/2  ---  Ymáx= 0 + 5,5.0,55 – 10(0,55)2/2  ---  Ymáx=1,5125m
b) tempo total de movimento t=2.0,55  ---  t=1,1s  ---  na horizontal  ---  X=Vox.t  ---  1,3=Vox.1,1  ---  Vox=1,18m/s
c) Vo2=Vox2 + Voy2  ---  Vo2 = (1,18)2 + ((5,5)2  ---  Vo2=1,3924 + 37,91  ---  Vo=6m/s
15- a) Vo=72km/h/3,6=20m/s  ---  Voy=Vosen20o=20.0,35  --- Voy=7m/s  ---  Vox=Vocos20o=20.0,95  ---  Vox=19m/s  ---  tempo que a bola demora para chegar à barreira onde X=9,5m com velocidade constante Vox=19m/s  ---  X=Vox.t  ---  t=9,5/19  ---  t=0,5s  ---  nesse instante a barreira deverá ter uma altura vertical de  ---  Y=Voyt – gt2/2=7.0,5 – 5.0,25  ---  Y=3,5 – 1,25  ---  Y=2,25m
b) Tempo que a bola demora para chegar ao gol com velocidade de Vox=19m/s e distante X=19m do ponto de lançamento  ---  X=Voxt  ---  t=19/19  ---  t=1s  ---  nesse instante a bola terá uma altura vertical de Y=Voyt – gt2/2=7.1 – 5.1  ---  Y=2m (altura da bola ao entrar no gol)  ---  altura da trave=2,4m  ---  a bola entra no gol 0,4m abaixo da trave.
c) Tempo que a bola demora para atingir a altura máxima onde Vy=0  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=7 – 10t  ---  t=0,7s  ---  nesse instante  ---  X=Voxt=19.0,7  ---  X=13,3m  ---  Y=hmáx=V0yt – gt2/2=7.0,7 – 5.0,49=4,9 – 2,45  ---  hmáx= 2,45m  ---  o tempo que ela
demora para retornar ao solo é o dobro do tempo que demora para atingir hmáx  ---  t=2.13,3  ---  t=26,6s 
16- a) Colocando o referencial no ponto de lançamento e aplicando Torricelli no ponto de altura máxima onde vy=0 e h=1,8m  --- 
V2=Voy2 – 2gh  ---  02=(Vosenβ)2 -2.10.1,8  ---  Vosenβ=√36  ---  Vosenβ=6  ---  tempo que demora para atingir hmáx  ---  Vy = Voy – gt  ---  0=Vosenβ – 10t  ---  0=6 – 10t  ---  t=0,6s
b) eixo vertical  ---  Vosenβ=6  ---  senβ=Vo/6  ---  eixo horizontal  ---  quando t=0,6s  ---  X=3,6m  ---  X=Voxt  ---  3,6=Vocosβ.0,6  ---  Vocosβ=6  ---  cosβ=Vo/6  ---  tgβ=senβ/cosβ=Vo/6 x 6/Vo  ---  tgβ=1  ---  β=45o
17- a) Vox=Vocos53o=100.0,60  ---  Vox=60m/s  ---   Voy=Vosen53o=100.0,80  ---  Voy=80m/s  ---  quando t=12s  ---  X=Voxt=60.12  ---  X=720m  ---  Y=Voyt – gt2/2=80.12 – 5.(12)2=960 - 720  ---  Y=240m
b) A força resultante é o peso do projétil, de direção vertical e sentido para baixo e de intensidade P=mg=0,1.10  ---  P=1,0N

18- a) Observe a figura abaixo, onde você deve decompor V em suas componentes vertical Vy e horizontal Vx
Vx=Vcosβ  ---  Vx=Vcos(α + θ)  ---  Vy=Vsenβ  ---  Vy=Vsen(α + θ)  ---  equação horária segundo a horizontal X  ---  X=Voxt=Vxt  ---  X=V.cos (α + θ).t  ---  Y=Vyt – gt2/2  ---  Y=Vsen (α + θ).t – gt2/2
b) Isolando t em X=Vcos(α + θ)t  ---  t=X/Vcos(α + θ) que, substituída em Y=Vsen(α + θ)t – gt2/2  ---  Y=Vsen(α + θ).X/Vcos(α + θ) – g(X/Vcos(α + θ))2/2  ---  Y=tg(α + θ) – g.X2/2V2cos2(α + θ)
19- Voy=Vosen45o  ---  Voy=√2/2V---  Vox=Vocos45o  ---  Vox=√2/2Vo  ---  cálculo do tempo de subida que ocorre na altura máxima quando Vy=0  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=√2/2Vo – gt  ---  t=√2.Vo/2g (tempo de subida)  ---  na horizontal  ---  X=s=Vox2t  ---  s=√2/2.Vo2(√2Vo/2g)  ---  s=Vo2/g  ---  na vertical  ---  Y=h==Voyt – gt2/2=√2/2.Vo(√2.Vo/2g) – g.(√2Vo/2g)2/2  ---  h=Vo2/2g – Vo2/4g  ---  h=Vo2/4g  ---  s/h=Vo2/g x 4g/Vo2  ---  s/h=4
20- a) Vox=Vocos30o=100.0,9=90m/s  ---  Voy=Vosen30o=100.0,5=50m/s  ---  tempo para atingir hmáx o que ocorre quando Vy=0  --- 
Vy=Voy – gt  ---  0=50 – 10t  ---  t=5s  ---  o alcance ocorre em t=2.5  ---  t=10s  ---  X=Voxt=90.10  ---  X=900m 
b) hmáx segundo Simplício  --- 
tg30o=h/900  ---  √3/3=h/900  ---  1,8/3=h/900  ---  h=540m
c) hmáx segundo Salviati  ---  Voyt – gt2/2=50.5 – 5.25/2=250 - 125  ---  hmáx=125m   
21- I- Voy é a mesma (mesmo V0 e o mesmo ângulo)  ---   Na hmáx  ---  Vy=0  ---  Vy2 = Voy2 – 2.g.hmáx  ---  0 = Voy2 – 2ghmáx  ---  hmáx=Voy2/2g  ---  se g diminui, hmáx aumenta  ---  Verdadeira
II – Correta  ---  a velocidade do projétil no aponto mais alto da trajetória é nula na Terra e na Lua.
III – Vox é a mesma  ---  X=Vox.t  ---  o alcance horizontal X independe de g, assim X é o mesmo na Terra e na Lua.
IV – Correta  ---  a velocidade vertical com que ele é lançado é a mesma, veja I, quem varia é g.
22- Na altura máxima  ---  Vy=0 e h=3,2m  ---  Torricelli  ---  Vy2=Voy2 – 2gh  ---  02=Voy2 – 2.10 3,2  ---  Voy=8m/s  ---  R- D
23- I – Verdadeira  ---  vê uma composição de dois movimentos, um na vertical e outro na horizontal.
II – Falsa  ---  desloca-se em movimento retilíneo uniforme com velocidade horizontal constante.
III – Correta – na vertical o movimento é uniformemente variado com aceleração a=-g.
R- D
24- a) Na hmáx  ---  Vy=0  ---  hmáx=1,25m  ---  Torricelli  ---  Vy2=Voy2 – 2ghmáx  ---  02 = Voy2 -20.1,25  ---  Voy=5m/s  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=5 – 10t  ---  t1=0,5s
b) X=Voxt=Vox2t1  ---  6=Vox.1  ---  Vox=6,0m/s
c) Trata-se do tempo que ele demora para percorrer na horizontal, com velocidade de Vox=6ms a distância X=(7,04 – 3,0)=4,04m  ---  X=Voxt2=  ---  4,04=6t2  ---  t2=0,67s
25- Bola 1  ---  lançamento vertical  ---  tempo para atingir hmáx onde V=0  ---  V=Vo – gt  ---  0=30 – 10t  ---  t=3s  ---  hmáx= 30.3 – 5.9  ---  hmax= 45m
Bola 2  ---  lançamento oblíquo  ---  quando t=3s  ---  h’=Voyt – gt2/2  ---  h’=Vosen30o.t – gt2/2=50.1/2.3 – 10.9/2=75 – 45  ---    --  h’=30m  ---  X=Vocos30o.t=50.√3/2.3  ---  X=127,5m  ---  a distância pedida é d, conforme figura abaixo

d2=(15)2 + (127,5)2  ---  d=√225 + 16.256,25  ---  d=√16.481,25 m  ---  R- D
26- a) Vy=Vosen30o – gt  ---  0=5.0,5 – 10t  ---  t=0,25s
b) Cálculo da altura máxima  ---  Y=hmáx=Yo + Vocos30o – gt2/2=2 + 0,625 - 0,3125  ---  hmáx=2,3125m que é menor que a altura da cesta
c) na horizontal  ---  X=Vocos30ot  ---  4=Vo.0,86t ---  t=4,6/Vo  ---  na vertical  ---  Y=Yo + Vosen30ot – gt2/2  ---  3=2 + 0,5Vo.(4,6/Vo) – 5(4,6/Vo)2  ---  1,3=106/Vo2  ---  Vo=9,02m/s
27- Dados: vo = 10 m/s; ho = 10 m; q = 30°  ---  as componentes horizontal (vox) e vertical (voy) da velocidade inicial são  --- 
Vox = vo cos 30° = 10 (0,87) = 8,7 m/s  ---  voy = vo sem 30° = 10 (0,5) = 5 m/s. 
Verificando cada uma das opções:
a) Altura máxima atingida em relação ao ponto de lançamento  ---  Vy2=Voy2 – 2gh  ---  02= Voy2 – 2gh  ---  h=Voz2g=52/10  --- 
h=2,5m  ---  em relação ao solo  ---  H=2,5 + 10  ---  H=12,5m
b) Tempo de subida  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=5 – 10t  ---  t=0,5s
c) Com referencial no solo e orientando a trajetória para cima, o tempo para chegar ao solo é calculado pela função horária do espaço  ---  h=ho + Voyt – gt2/2  ---  h=10 + 5t – 5t2  ---  quando chega ao solo h=0  ---  0=10 + 5t – 5t2   ---  t2 – t – 5=0  ---  resolvendo a equação  ---  t @ 2,8 s.
d) Correta. Ao passar novamente pela mesma altura a pedra possui a mesma energia potencial inicial  ---   considerando o sistema
 conservativo, então a pedra tem também a mesma energia cinética, portanto a mesma velocidade, em módulo, ou seja, se ela é lançada com velocidade de 10m/s, ao retornar passará por esse mesmo ponto com velocidade de -10m/s.
R- D
28- Dados  ---  vo = 10 m/s; q = 45°; g = 10 m/s2.
Vox = vo cos 45° = 10.√2/2  ---  Vox=5√2m/s  ---  voy = vo ­sen 45° = ­5√2m/s  ---  no eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = –g  ---  tempo de subida (tsub), notando que no ponto mais alto vy = 0  ---  vy = voy – g t  ---  0 = 5√2 – 10 tsub­  --- 
Tsub =√2/2 s  ---   tempo  de subida é igual ao de descida  ---  tempo total (tt)  ---  tt=2tsub  ---  tt=√2s  ---  no eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a vox  ---   alcance horizontal (D)  ---   D = vox tt = 5.√2.√2  ---  D=10m  ---  R- E
29- Dados: g = 10 m/s2; √2= 1,4; q = 45°; vo = 20 m/s.
a) Considere desprezível a resistência do ar e que, ao matar a bola, o pé do artilheiro esteja bem próximo ao chão  ---  então você pode considerar o ponto de lançamento e o ponto de chegada pertencente a um mesmo plano horizontal  ---  no ponto mais alto a componente vertical da velocidade (vy) é nula  ---  vy = voy – g t  Þ  0 = vosen q – g ts  ---  0=20.sen45o – 10ts  ---  ts=20.√2/2/10  --
ts=√2 s  ---  tempo total =tsubida + tdescida  ---  ttotal= √2 + √2   ---  ttotal=2√2 s  ---  na horizontal o movimento é uniforme  --- velocidade Vx (constante) ---  vx  = vo cos q = vo cos 45° = 20.√2/2 m/s  ---  Vx=10√2 m/s  ---  alcance horizontal  ---  x=Vx.t=(10√2).(2.√2)  ---  x=40m
b) A velocidade média (vm) do artilheiro pode ser calculada considerando que ele percorreu a distância (DS) de 16 m enquanto a bola esteve no ar  ---  Vm=ΔS/Δt=16/2√2  ---  Vm=4√2=4.1,4  ---  Vm=5,6m/s=20,16km/h
30- Analisando apenas a incorreta, que é a 02  ---  a componente horizontal está correta, pois no eixo x o movimento é uniforme, porém, no eixo y, o movimento é uniformemente variado e a equação correta é  ---  y = yo + voy t –  gt2/2  ---  yo=0  ---  Voy=
Vo senθ  ---  Y=(Vosenθ)t – gt2/2 
R- (01 + 04 + 08 + 16)=29    
31- Para um observador no interior do trem que se desloca em movimento retilíneo e uniforme, o alcance de um objeto lançado horizontalmente só depende da intensidade da velocidade  do objeto  ---  assim, caso a bola fosse arremessada em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância entre o ponto de arremesso e o ponto de impacto também seria igual a 5 m  ---  não haveria diferença, pois a queda só é influenciada por g  ---  logo, seria 5m ao contrário da origem  ---  R- B
32- O tempo de queda é calculado exclusivamente pelo movimento vertical (queda livre da altura de 1m com a=g=10m/s2  ---  h=gt2/2  ---  1=10t2/2  ---  t=√0,2  ---  t=0,447s  ---  R- C
33- O tempo de subida é igual ao tempo de descida o que ocorre quando Vy=0  ---  Vy=Voy – gt  ---  0=Vosenθ – gt  ---  t=Vosenθ/g  ---  tempo no ar  ---  ttotal=2t=2Vosenθ/g  ---  sendo 2Vo e g constantes, o tempo de permanência no ar depende apenas do ângulo θ com a horizontal  ---  quanto menor θ, menor será senθ e, consequentemente menor ttotal  ---  R- B

4 comentários:

  1. vlw professor me ajudou bastante

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  2. Professor, o senhor poderia explicar as questoes 8 e 9?

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  3. Na minha opiniao os exercicios parecem ser resolvidos mecanicame, eu acho que devia haver uma explicacao detalhada de assuntos

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