Exercícios Resolvidos de lançamento Oblíquo.
01-(Ufmg-MG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas - P, Q
e R -, cujas trajetórias estão representadas nesta figura:
Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente,
pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o
solo.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que
a) t(Q) > t(P) = t(R) b) t(R) > t(Q) =
t(P) c) t(Q) > t(R) > t(P) d) t(R) > t(Q) >
t(P) e) d) t(R) = t(Q) = t(P)
02-(Ufsm-RS) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo
a resistência do ar desprezível, a flecha descreve uma parábola
num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da
flecha depois que ela abandona o arco, afirma-se:
I. A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais
alto da trajetória.
II. A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no
mesmo sentido.
III. A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no
ponto mais alto da trajetória.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas I e II.
c) apenas II. d) apenas III. e) I, II e
III.
03-(CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no
solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e
forma um ângulo de 60° com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este
ângulo é de 30°. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que
ambas tenham o mesmo alcance, é:
DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR.
a) 10 m/s b) 10√3 m/s
c) 15 m/s d) 20 m/s e) 20√3 m/s
04-(CEFET-CE) Um caminhão se desloca em movimento retilíneo
e horizontal, com velocidade constante de 20m/s. Sobre sua carroceria, está um
canhão, postado para tiros verticais, conforme indica a figura. A origem do
sistema de coordenadas coincide com a boca do canhão e, no instante t=0, ele
dispara um projétil, com velocidade de 80m/s. Despreze a resistência do ar e
considere g=10m/s2.
Determine o deslocamento horizontal do projétil, até ele
retornar à altura de lançamento, em relação:
a) ao caminhão;
b) ao solo.
05-(Ufms-MS) Em um lançamento oblíquo (trajetória mostrada
na figura a seguir) em um local onde a aceleração constante da gravidade é g,
sejam respectivamente, H, X e β a altura máxima, o alcance horizontal e o
ângulo de lançamento do projétil, medido em relação ao eixo horizontal x.
Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que
(01) o tempo para que se alcance X é igual ao tempo de
subida do projétil.
(02) o tempo para que se alcance X é igual ao dobro do tempo
de descida do projétil.
(04) se tg(β) = 4, então H = X.
(08) a energia cinética do projétil é máxima quando é
atingida a altura máxima.
(16) a energia mecânica do projétil aumenta no trecho de
descida.
06-(CEFET-CE) Um aluno do CEFET em uma partida de futebol
lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo
de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura
máxima é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em
m/s, será:
a) 10 b) 17 c) 20
d) 30 e) 40
07-(PUCCAMP-SP) Observando a parábola do dardo arremessado
por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão
que lhe permitisse calcular a
altura y, em metros, do dardo
em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento
(t =
0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4
segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta,
considerando g=10m/s2,
a expressão que o matemático encontrou foi
a) y = - 5t2 + 20t
b) y = - 5t2 + 10t c) y = - 5t2 + t
d) y = -10t2 + 50 e) y = -10t2 + 10
08-(Ufpe-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com
velocidade inicial vo = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto
de sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua
velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil?
(Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2).
09-(FUVEST-SP) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a
partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma
câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto
em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na
parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o
choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos,
que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos,
durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão
após o choque.
c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as
velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua
trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão,
identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das
curvas.
NOTE E ADOTE:
Vy é positivo quando a bola sobe
Vx é positivo quando a bola se move para a
direita
10-(PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo
de 45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o
dardo bate no solo 16 m à
frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a
altura do atleta, o intervalo de tempo t, em
segundos, é um valor mais próximo de:
Dados: g = 10 m/s2 e sen 45° = cos 45° = 0,7
a) 3,2 b)
1,8 c) 1,2 d)
0,8 e) 0,4
11- Ufjf-MG) Durante uma
partida de futebol, um jogador,
percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol, resolve
tentar
um chute de longa distância (vide figura). O jogador se encontra a 40 m
do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem módulo Vo = 26 m/s e faz um ângulo
de 25° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.
Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual
e usando cos 25° = 0,91, sen 25° = 0,42 e g=10m/s2:
a) Faça o diagrama de forças sobre a bola num ponto qualquer
da trajetória durante o seu vôo, após ter sido chutada. Identifique a(s)
força(s).
b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir
a altura de 3,0 m. Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele?
Justifique.
c) Se a bola passar pelo goleiro, ela atravessará a linha de
gol a uma altura de 1,5 m do chão. A que distância o jogador se encontrava da
linha de gol, quando chutou a bola? (Nota: a linha de gol está atrás do
goleiro.)
12-(CEFET-CE) Uma roda de raio R rola uniformemente, sem
escorregar, ao longo de uma superfície horizontal. Do ponto A da roda se
desprende uma gota de barro, como mostra a figura a seguir.
Com que velocidade v deve se deslocar a roda, se a gota,
depois de lançada ao espaço, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda após
efetuar uma volta? Considere desprezível a resistência do ar.
13-(UNICAMP-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das
extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura a seguir,
atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m.
a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão.
Desconsidere a resistência do ar nesse caso.
b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?
c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força,
FE, vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a
velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica
à da figura?
14-(UNICAMP-SP) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane
dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em
Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a
trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros),
assim como o tempo de duração do salto.
De acordo com o gráfico, determine:
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de
Daiane.
b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a
distância percorrida nessa direção é de 1,3m.
c) A velocidade vertical de saída do solo.
15-(PUC-SP) Futebol é, sem dúvida, o esporte mais popular de
nosso país. Campos de futebol são improvisados nas ruas, nas praças, nas
praias. Já os campos de futebol profissional são projetados e construídos
seguindo regras e dimensões bem definidas
O comprimento do campo pode variar de um mínimo de 90m até
um máximo de 120m, enquanto a medida da largura pode variar entre 45m e 90m. De
qualquer maneira, independentemente das dimensões do campo, a distância entre
as traves verticais de um mesmo gol é de 7,3m, e a grande área do campo, dentro
da qual ficam o goleiro e as traves, tem as medidas assim definidas:
"A grande área, ou área penal, está situada em ambas as
extremidades do campo e será demarcada da seguinte maneira: serão traçadas duas
linhas perpendiculares à linha de meta, a 16,5m de cada trave do gol. Essas
linhas se adentrarão por 16,5m no campo e se unirão a uma linha paralela à
linha de meta. Em cada grande área será marcado um ponto penal, a 11,0m de
distância a partir do ponto médio da linha entre as traves, eqüidistantes às
mesmas, Por fora de cada grande área será traçado um semicírculo com raio de
9,2m a partir de cada ponto penal." (fig. 1)
Para alcançar o gol, os jogadores lançam mão de várias
técnicas e fundamentos. Dentre esses fundamentos, um dos mais difíceis de serem
executados pelos jogadores, e que está diretamente ligado às medidas do campo,
é o 'lançamento'. Nestas jogadas, em que se destacaram Gerson e Pelé, dentre
outros, um jogador chuta a bola que, a partir daí, sobe, descreve uma parábola
sob a ação da gravidade e vai alcançar outro jogador, uns tantos metros à
frente.
Instruções: Nas respostas lembre-se
de deixar os processos de resolução claramente expostos.
Não basta escrever apenas o resultado final. É necessário
registrar os cálculos e/ou raciocínio utilizado.
Sempre que necessário, utilize: g = 10m/s2, sen
20° = 0,35 e cos 20° = 0,95
Nas questões seguintes, eventualmente, você precisará de
dados numéricos contidos no texto. Procure-os com atenção.
Para as questões seguintes,
considere a fig. 2 , na qual um
jogador chuta a boa com velocidade de módulo 72 km/h e em um ângulo de
20° em relação à horizontal. A distância inicial entre a bola e a
barreira
é de 9,5m e entre a bola e a linha do gol, 19m. A trave superior do gol
encontra-se a 2,4m do solo.
Considere desprezível o trabalho de forças dissipativas
sobre a bola.
a) Determine qual é a máxima altura que a barreira pode ter
para que a bola a ultrapasse.
b) Determine a distância entre a trave superior e a bola, no
instante em que ela entra no gol.
c) A trajetória da bola chutada pelo jogador da figura pode
ser descrita pela equação y = 7/19x - (5/361)x2, na qual 'y' é a
medida, em metros, da altura em que a bola se encontra, e 'x' é a medida da
distância horizontal percorrida pela bola, em metros, durante seu movimento.
Desenhe o gráfico cartesiano representativo do movimento da bola durante o
lançamento, assinalando a altura máxima e o ponto em que a bola retornaria ao
solo, caso não batesse na rede.(fig. 2)
16-(UNESP-SP) Um garoto,
voltando da escola, encontrou seus
amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e
resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua
mochila
por cima do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância
de 3,6 m do muro e, pegando a mochila pelas alças, lançou-a a partir de
uma altura de 0,4 m.
Para que a mochila passasse
para o outro lado com segurança,
foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do
solo. Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à
altura do muro e que
durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia.
Tomando g = 10 m/s2, calcule
a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila
atingir a altura máxima.
b) o ângulo de lançamento.
Dados:
17-(UNIFESP-SP) Um projétil de
massa m = 0,10 kg é lançado do solo com velocidade de 100 m/s, em um
instante t = 0, em uma direção que forma
53° com a horizontal. Admita que a resistência do ar seja desprezível e
adote g
= 10 m/s2.
a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem
localizada no ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição
desse projétil no instante t = 12 s?
Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60.
b) Utilizando este pequeno trecho da trajetória do projétil:
Desenhe no ponto O, onde está representada a velocidade 
do projétil, a
força resultante 
que nele atua. Qual o módulo dessa
força?
do projétil, a
força resultante que nele atua. Qual o módulo dessa
força?
18- (Ufc-CE) Uma partícula pontual é lançada de um plano
inclinado conforme esquematizado na figura a seguir. O plano tem um ângulo de
inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com
velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α
em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito da resistência do ar.
Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g,
direção vertical, sentido para baixo).
a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical
e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento,
determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o
tempo é contado a partir do instante de lançamento.
b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema
de coordenadas definido no item (a).
19-(UNESP-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a
partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o
alcance atingido são, respectivamente, h e s.
Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e
sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45° em relação ao solo horizontal,
calcule a razão s/h.
Dado: sen 45° = cos 45° = √2/2.
20-(UNICAMP–SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se
que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o
qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente
até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma
velocidade inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois
artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício,
utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois
artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere √3 =1,8 ; sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,9.
Despreze a resistência do ar.
a) Qual é o alcance do projétil?
b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo
os cálculos de Simplício?
c) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada
por Salviati?
21-(PUC-PR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60° com a
horizontal com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na
Lua.
Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo
da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos,
analise as proposições a seguir:
I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que
na Terra.
II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da
trajetória será a mesma na Lua e na Terra.
III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua.
IV- A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na
Lua e na Terra.
22-(FUVEST-SP-2008) No "salto com vara", um atleta
corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu corpo
por cima de uma barra. Para uma estimativa da altura alcançada nesses saltos, é
possível considerar que a vara sirva apenas para converter o movimento
horizontal do atleta (corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos
de energia. Na análise de um desses saltos, foi obtida a seqüência de imagens
reproduzida a seguir. Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima
atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximadamente,
Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início
do salto.
a) 4 m/s b) 6 m/s c)
7 m/s d) 8 m/s e) 9 m/s
23-(Ufsm-RS-2008) Num jogo de futebol, um jogador faz um
lançamento oblíquo de longa distância para o campo adversário, e o atacante
desloca-se abaixo da bola, em direção ao ponto previsto para o primeiro contato
dela com o solo.
Desconsiderando o efeito do ar, analise as afirmativas:
I - Um observador que está na arquibancada lateral vê a bola
executar uma trajetória parabólica.
II - O atacante desloca-se em movimento retilíneo
uniformemente variado para um observador que está na arquibancada lateral.
III - O atacante observa a bola em movimento retilíneo
uniformemente variado.
Está(ão) CORRETA(S)
a) apenas I. b) apenas II. c)
apenas I e II. d) apenas I e III. e) apenas
II e III.
24-(FUVEST-SP-2009) O salto que conferiu a medalha de ouro a
uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema ao
lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está
indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta
(CM).
Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto,
de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu uma
altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma
distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado
na figura. Considerando essas informações, estime:
a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o
instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta
atingiu sua altura máxima.
b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta
durante o salto.
c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o
instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto.
NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar.
25-(ITA-SP-2009) Considere hipoteticamente duas bolas
lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima
de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando um ângulo de 30° com a
horizontal. Considerando g = 10 m/s£, assinale a distância entre as bolas no
instante em que a primeira alcança sua máxima altura.
a) d = √6250 m. b) d = √2717 m
c) d = √17100 m d) d = √19375 m e) d
= √26875 m
26-(UDESC-SC-2009) Em uma
partida de basquete, um jogador
tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está
situado a uma
distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do
solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de
2,0 m do solo.
No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de
5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No
segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando
um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos2
30° = 0,75.
a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida
pela bola no primeiro lançamento.
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro
lançamento.
c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo
lançamento.
27-(CFT-MG-010) Uma pedra, lançada para cima a partir do topo de um
edifício de 10 m de altura com velocidade inicial
vo = 10m/s, faz um
ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao
solo. Considerando-o como referência, é correto afirmar que a(o)
a) máxima altura atingida é
igual a 15 m. b) intervalo de tempo da subida
vale 3,0 s.
c) tempo gasto para chegar ao
solo é 5,0 s. d) velocidade ao passar pelo nível
inicial é 10m/s.
28-(PUC-RJ-010) Um
superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o
maior alcance possível. Se ele se
lança ao ar com uma
velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45o em relação
a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é
de: (Considere g = 10 m/s2)
a) 2 m.
b) 4 m. c) 6 m.
d) 8 m. e) 10
m.
29-(UNIFESP-SP-010) No
campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo
gol, no qual, ao
correr para receber um
lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do
pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a
bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade
inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima.
Dados: g = 10,0 m/s2 e √=
1,4
a) Determine a distância
horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de
recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal).
b) No instante do lançamento
da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou
que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola.
A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da
bola, como mostra a figura.
Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola
imediatamente antes de ela tocar o gramado?
30-(UEPG-PR-011) Um projétil
quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória
parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos
independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um
projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto.
01) As componentes da
velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são
respectivamente dadas por,
Vx = Vo
. cosθ e Vy = Vo . senθ – gt
02) As componentes do vetor
posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por,
x = Vo . cosθ.
t e y = Vo . senθ – gt2/2
04) O alcance do projétil na
direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento.
08) O tempo que o projétil
permanece no ar é t=(2Vosenθ)/g
16) O projétil executa
simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento
uniforme na direção horizontal.
(UERJ-RJ-011) Este enunciado
refere-se às questões de números 31 e 32. Um trem em alta velocidade desloca-se
ao
longo
de um trecho
retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em
repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1
m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de
borracha que atinge esse piso a
uma distância de 5 m do ponto de arremesso.
31-(UERJ-RJ-011) Se a bola fosse arremessada na mesma direção, mas
em sentido oposto ao do deslocamento do trem,
a distância, em metros, entre o ponto em que a bola atinge o piso
e o ponto de arremesso seria igual a:
(A) 0 (B)
5 (C) 10 (D) 15
32-(UERJ-RJ-011)O intervalo de tempo,
em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:
(A) 0,05 (B)
0,20 (C)
0,45 (D) 1,00
33-(UFF-RJ-011) Após um
ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e
armar um contra ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a
bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai
chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o
ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num
certo momento da partida.
Assinale a alternativa que
expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia
bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar.
(A) Sim, é possível, e o
jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo.
(B) Sim, é possível, e o
jogador mais distante receberia a bola no menor tempo.
(C) Os dois jogadores
receberiam a bola em tempos iguais.
(D) Não, pois é necessário
conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento.
(E) Não, pois é necessário
conhecer o valor da velocidade inicial.
Resoluções
01- O tempo que a bola permanece no ar está
relacionado com a altura --- maior altura, maior tempo de permanência no ar
--- R- A
02- I – Falsa – a aceleração é constante e é a
aceleração da gravidade 
, sempre com direção vertical e
sentido para baixo.
, sempre com direção vertical e
sentido para baixo.
II – Correta – vide afirmação acima
III – Falsa – no ponto mais alto da trajetória a velocidade
é mínima e vale V=Vx
R- C
03- Se os dois ângulos de lançamento forem
complementares entre si (α1 + α2=90o),
e a velocidade inicial for a mesma, (no caso, 20m/so alcance horizontal é o
mesmo.
R- D
04- a) Como a resistência do ar é desprezada, a
velocidade horizontal inicial do projétil é constante e, em cada instante, a
mesma do caminhão. Assim, se ele partiu de um ponto P da carroceria do
caminhão, retornará ao mesmo ponto P e o deslocamento horizontal em relação ao
caminhão será zero.
b) Vox=20m/s --- Vo=80m/s --- Vo2=Vox2
+ Voy2 --- 6.400=400 + Voy2 ---
Voy=77.5m/s ---tempo de subida --- Vy = Voy
– gts --- 0=77,5 – 10ts --- ts=7,75s ---
tempo que demora para subir e descer e se deslocar X na horizontal ---
t=2.7.75 --- t=15,5s --- X=Vox.t=20,15,5 --- X=310m
05- (01) Falsa – é o tempo de subida mais o tempo de
descida
(02) Verdadeira – veja (1)
(04) Verdadeira – veja teoria - Se a altura maxima (hmáx)
é igual ao alcance X --- tgα=4
(08) Ec=mV2/2 --- na altura máxima V
é mínima, portanto Ec também será mínima – Falsa
(16) Falsa – como não existe atrito, o sistema é
conservativo e a energia mecânica é sempre a mesma em todos os pontos da
trajetória
Soma (02 + 04) = 06
06- Na altura máxima a velocidade vetorial 
não é nula, tem
intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, 
.
não é nula, tem
intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, .
Assim, Vox=20m/s --- Vox=Vocos60o
--- 20=Vo.1/2 --- Vo=40m/s --- R- E
07- Na altura maxima --- hmáx=20m e
t=4/2 --- t=2s --- Y=Voyt – gt2/2 --- 20=Voy.2
– 10.22/2 --- Voy=20m/s --- Y=Voyt – gt2/2
--- Y=20t – 5t2 --- R- A
08- No ponto mais alto --- V=Vx=Vox=20/2
--- Vox=10m/s --- Vo2=Vox2
+ Voy2 --- 202=102 + Voy2
--- Voy2=300 --- na altura máxima hmáx
--- Vy=0 --- Torricelli --- Vy2 = Voy2
– 2ghmáx --- 02=300 – 20hmáqx --- hmáx=15m
09- a) Movimento na vertical --- no ponto A de
altura máxima Vy=0
S=So + Vot + at2/2 ---
YB) = Y(A) + Vyt – 10t2/2 --- 4,2 = 5,0 +0.t -5t2
--- t=√0,16 --- t=0,4s
b) Queda livre da altura Yo=5m --- Vo=0 --- quando chega ao solo Y=0 --- Y=Yo + Vot –gt2/2 --- 0=5 + 0t – 5t2 --- t=1s
b) Queda livre da altura Yo=5m --- Vo=0 --- quando chega ao solo Y=0 --- Y=Yo + Vot –gt2/2 --- 0=5 + 0t – 5t2 --- t=1s
Sendo o choque elástico, o tempo de subida é igual ao tempo
de descida --- t=2s
c) Movimento vertical --- a batida na parede não afeta o
tempo de queda (projeção na vertical) pois o choque é elástico --- t=1s ---
Voy=0 --- velocidade com que chega ao solo --- Vy
--- Vy=Voy – gt --- Vy=0 -10.1 --- Vy=-10m/s
--- se chega ao solo com velocidade de -10m/s, sai do mesmo com velocidade de
+10m/s ---
No movimento horizontal ela demora t=0,4s para percorrer
X=6m com velocidade constante Vx --- X=Vxt --- 6=Vx.0,4
--- Vx=15m/s --- +15m/s para a direita (movimento progressivo) e
-15m/s para a esquerda (movimento retrógrado)
10- Vox=Vocos45o
--- Voy=Vosen45o --- Vox=Voy=0,7Vo
--- tempo que o dardo demora para para percorrer 16m na horizontal --- X=Voxcos45o.t
--- 16=Vo.0,7.t --- t=16/0,7Vo --- Na altura máxima
Vy=0 e t=16/2.(0,7Vo)=16/1,4Vo --- Vy=Voy
– gt --- 0=0,7Vo – 10t --- 0=0,7Vo – 10.16/1,4Vo
--- Vo=√163,2=12,8m/s --- t=16/0,7Vo ---
t=16/12,8=1,8s --- R- B
11- a) A única força que age sobre a bola (a
resistência do ar é desprezada) durante todo o movimento é a força peso,
vertical e para
baixo.
b) Cálculo do tempo que a bola demora a chegar até o
goleiro percorrendo X=40m com velocidade horizontal constante e de valor Vox=Vocos25o=26.0,91
--- Vox=23,66m/s --- X=Vox.t --- 40=23,66.t ---
t=1,69s --- cálculo da altura, na direção vertical, que a bola estará ao
chegar ao goleiro nesse instante (t=1,69s) --- Y=Voyt – gt2/2
--- Y=Vo.sen25o.t –gt2/2 --- Y=26.0,42.1,69
– 10.(1,69)2/2 --- Y=18,45 – 14,28 --- Y=4,17m --- esse valor
é maior que 3m e assim, o goleiro não consegue tocar a bola.
c) Cálculo do tempo que a bola demora para chegar à altura
vertical de 1,5m --- Y=Vo.sen25o.t – gt2/2
--- 1,5=10,92t – 5t2 ---
5t2 -10,92t + 1,5=0 --- Δ=119,25 –
30=89,25 --- √Δ=9,5 --- t=(10,92 ±9,5)/2.5 --- considera-se o
tempo maior que ocorre quando a bola já está descendo --- t=2,042s ---
nesse instante a distância horizontal da linha de gol será de X=Vocos25o.t
---
X=26.0,91.2,042 --- X=48,3m
12- O tempo que a gota de barro permanece no ar é o
mesmo tempo que a roda demora para efetuar uma volta completa, ou seja, percorrer
ΔS=2πR com velocidade constante V, que é a velocidade de translação e
de rotação da roda (não derrapa) e que também é a velocidade de lançamento da
gota de barro --- V= ΔS/Δt --- V=2πR/t --- t=2πR/V
--- a gota de barro atinge a altura máxima hmáx na metade desse
tempo, quando sua velocidade vertical Vy se anula (Vy=0)
--- Vy=Voy – gt --- 0=V – g(πR/V) ---
V2=πRg --- V=√(πRg)
13- a) Do gráfico --- distância vertical que
percorre até atingir a altura máxima --- ΔS=125 – 93,75=31,25cm ---
ΔS=0,3125m --- na altura máxima Vy=0 --- Torricelli --- Vy2
= Voy2 + 2aΔS --- 02=Voy2
– 2.10.0,3125 --- Voy=2,5m/s --- função horária vertical ---
Y=Yo + Voyt – gt2/2 --- quando chega ao solo
Y=0 --- 0=0,9375 + 2,5t – 5t2 --- 5t2 – 2,5t –
0,9375=0 --- √Δ=5 ---
t=(2,5 ±5)/10 --- t=0,75s
b) Na horizontal --- quando X=24m --- t=0,75s --- X=Vox.t
--- 24=Vox.0,75 --- Vox=32m/s
c) sem efeito --- a força resultante sobre a bola é
seu peso --- P=mg --- a=g --- com efeito --- F=3P (para cima) e P (para
baixo) --- FR=3P – P=2P=2mg --- a’=2g --- como a aceleração é
proporcional à velocidade, ela também dobrará --- V’+2.32 --- V’=64m/s
14- a) Yo=0
--- quando t=0,3s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt + at2/2
--- 1,2=0 + 0,3Voy= + a.(0,3)2/2 --- 0,3Voy
+ 0,045a=1,2 I
quando t=0,8s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt
+ at2/2 --- 1,2=0 + Voy.0,8 + a(0,8)2/2
--- 0,8Voy + 0,32a = 1,2 II --- resolvendo o sistema composto
por I e II --- a=-10m/s2=g e Voy=5,5m/s --- tempo
que demora para atingir a altura máxima onde Vy=0 --- Vy=Voy
+ at --- 0=5,5 – 10t --- t=0,55s --- Ymáx= Yo + Voyt
+ at2/2 --- Ymáx= 0 + 5,5.0,55 – 10(0,55)2/2
--- Ymáx=1,5125m
b) tempo total de movimento t=2.0,55 --- t=1,1s --- na
horizontal --- X=Vox.t --- 1,3=Vox.1,1 --- Vox=1,18m/s
c) Vo2=Vox2 + Voy2
--- Vo2 = (1,18)2 + ((5,5)2 ---
Vo2=1,3924 + 37,91 --- Vo=6m/s
15- a) Vo=72km/h/3,6=20m/s --- Voy=Vosen20o=20.0,35
--- Voy=7m/s --- Vox=Vocos20o=20.0,95
--- Vox=19m/s --- tempo que a bola demora para chegar à barreira
onde X=9,5m com velocidade constante Vox=19m/s --- X=Vox.t
--- t=9,5/19 --- t=0,5s --- nesse instante a barreira deverá ter uma
altura vertical de --- Y=Voyt – gt2/2=7.0,5 – 5.0,25
--- Y=3,5 – 1,25 --- Y=2,25m
b) Tempo que a bola demora para chegar ao gol com velocidade
de Vox=19m/s e distante X=19m do ponto de lançamento --- X=Voxt
--- t=19/19 --- t=1s --- nesse instante a bola terá uma altura vertical de
Y=Voyt – gt2/2=7.1 – 5.1 --- Y=2m (altura da bola ao
entrar no gol) --- altura da trave=2,4m --- a bola entra no gol 0,4m
abaixo da trave.
c) Tempo que a bola demora para atingir a altura máxima onde
Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=7 – 10t ---
t=0,7s --- nesse instante --- X=Voxt=19.0,7 --- X=13,3m
--- Y=hmáx=V0yt – gt2/2=7.0,7 – 5.0,49=4,9 –
2,45 --- hmáx= 2,45m --- o tempo que ela
demora para retornar ao solo é o dobro do tempo que demora
para atingir hmáx --- t=2.13,3 --- t=26,6s
16- a) Colocando o referencial no ponto de lançamento
e aplicando Torricelli no ponto de altura máxima onde vy=0 e
h=1,8m ---
V2=Voy2 – 2gh --- 02=(Vosenβ)2
-2.10.1,8 --- Vosenβ=√36 --- Vosenβ=6
--- tempo que demora para atingir hmáx --- Vy = Voy
– gt --- 0=Vosenβ – 10t --- 0=6 – 10t --- t=0,6s
b) eixo vertical --- Vosenβ=6 ---
senβ=Vo/6 --- eixo horizontal --- quando t=0,6s ---
X=3,6m --- X=Voxt --- 3,6=Vocosβ.0,6 --- Vocosβ=6
--- cosβ=Vo/6 --- tgβ=senβ/cosβ=Vo/6
x 6/Vo --- tgβ=1 --- β=45o
17- a) Vox=Vocos53o=100.0,60
--- Vox=60m/s --- Voy=Vosen53o=100.0,80
--- Voy=80m/s --- quando t=12s --- X=Voxt=60.12
--- X=720m --- Y=Voyt – gt2/2=80.12 – 5.(12)2=960
- 720 --- Y=240m
b) A força resultante é o peso do projétil, de direção
vertical e sentido para baixo e de intensidade P=mg=0,1.10 --- P=1,0N
18- a) Observe a figura abaixo, onde você deve
decompor V em suas componentes vertical Vy e horizontal Vx
Vx=Vcosβ --- Vx=Vcos(α +
θ) --- Vy=Vsenβ --- Vy=Vsen(α +
θ) --- equação horária segundo a horizontal X --- X=Voxt=Vxt
--- X=V.cos (α + θ).t --- Y=Vyt – gt2/2
--- Y=Vsen (α + θ).t – gt2/2
b) Isolando t em X=Vcos(α + θ)t ---
t=X/Vcos(α + θ) que, substituída em Y=Vsen(α + θ)t – gt2/2
--- Y=Vsen(α + θ).X/Vcos(α + θ) – g(X/Vcos(α +
θ))2/2 --- Y=tg(α + θ) – g.X2/2V2cos2(α
+ θ)
19- Voy=Vosen45o
--- Voy=√2/2Vo --- Vox=Vocos45o
--- Vox=√2/2Vo --- cálculo do tempo de subida
que ocorre na altura máxima quando Vy=0 --- Vy=Voy
– gt --- 0=√2/2Vo – gt --- t=√2.Vo/2g
(tempo de subida) --- na horizontal --- X=s=Vox2t ---
s=√2/2.Vo2(√2Vo/2g) --- s=Vo2/g
--- na vertical --- Y=h==Voyt – gt2/2=√2/2.Vo(√2.Vo/2g)
– g.(√2Vo/2g)2/2 --- h=Vo2/2g
– Vo2/4g --- h=Vo2/4g
--- s/h=Vo2/g x 4g/Vo2 ---
s/h=4
20- a) Vox=Vocos30o=100.0,9=90m/s
--- Voy=Vosen30o=100.0,5=50m/s --- tempo
para atingir hmáx o que ocorre quando Vy=0 ---
Vy=Voy – gt --- 0=50 – 10t ---
t=5s --- o alcance ocorre em t=2.5 --- t=10s --- X=Voxt=90.10
--- X=900m
b) hmáx segundo Simplício ---
tg30o=h/900 --- √3/3=h/900 ---
1,8/3=h/900 --- h=540m
c) hmáx segundo Salviati --- Voyt –
gt2/2=50.5 – 5.25/2=250 - 125 --- hmáx=125m
21- I- Voy é a mesma (mesmo V0 e
o mesmo ângulo) --- Na hmáx --- Vy=0 --- Vy2
= Voy2 – 2.g.hmáx --- 0 = Voy2
– 2ghmáx --- hmáx=Voy2/2g ---
se g diminui, hmáx aumenta --- Verdadeira
II – Correta --- a velocidade do projétil no aponto mais
alto da trajetória é nula na Terra e na Lua.
III – Vox é a mesma --- X=Vox.t
--- o alcance horizontal X independe de g, assim X é o mesmo na Terra e na
Lua.
IV – Correta --- a velocidade vertical com que ele é
lançado é a mesma, veja I, quem varia é g.
22- Na altura máxima --- Vy=0 e h=3,2m
--- Torricelli --- Vy2=Voy2 –
2gh --- 02=Voy2 – 2.10 3,2 --- Voy=8m/s
--- R- D
23- I – Verdadeira --- vê uma composição de dois
movimentos, um na vertical e outro na horizontal.
II – Falsa --- desloca-se em movimento retilíneo uniforme
com velocidade horizontal constante.
III – Correta – na vertical o movimento é uniformemente
variado com aceleração a=-g.
R- D
24- a) Na hmáx --- Vy=0 ---
hmáx=1,25m --- Torricelli --- Vy2=Voy2
– 2ghmáx --- 02 = Voy2 -20.1,25
--- Voy=5m/s --- Vy=Voy – gt --- 0=5 –
10t --- t1=0,5s
b) X=Voxt=Vox2t1
--- 6=Vox.1 --- Vox=6,0m/s
c) Trata-se do tempo que ele demora para percorrer na
horizontal, com velocidade de Vox=6ms a distância X=(7,04 –
3,0)=4,04m --- X=Voxt2= --- 4,04=6t2 --- t2=0,67s
25- Bola 1 --- lançamento vertical --- tempo para
atingir hmáx onde V=0 --- V=Vo – gt --- 0=30 – 10t
--- t=3s --- hmáx= 30.3 – 5.9 --- hmax= 45m
Bola 2 --- lançamento oblíquo --- quando t=3s --- h’=Voyt
– gt2/2 --- h’=Vosen30o.t – gt2/2=50.1/2.3
– 10.9/2=75 – 45 --- -- h’=30m --- X=Vocos30o.t=50.√3/2.3
--- X=127,5m --- a distância pedida é d, conforme figura abaixo
d2=(15)2 + (127,5)2 ---
d=√225 + 16.256,25 --- d=√16.481,25 m --- R- D
26- a) Vy=Vosen30o –
gt --- 0=5.0,5 – 10t --- t=0,25s
b) Cálculo da altura máxima --- Y=hmáx=Yo
+ Vocos30o – gt2/2=2 + 0,625 - 0,3125 --- hmáx=2,3125m
que é menor que a altura da cesta
c) na horizontal --- X=Vocos30ot
--- 4=Vo.0,86t --- t=4,6/Vo --- na vertical --- Y=Yo
+ Vosen30ot – gt2/2 --- 3=2 + 0,5Vo.(4,6/Vo)
– 5(4,6/Vo)2 --- 1,3=106/Vo2
--- Vo=9,02m/s
27- Dados: vo = 10 m/s; ho = 10 m; q
= 30° --- as componentes horizontal (vox) e vertical (voy)
da velocidade inicial são ---
Vox = vo
cos 30° = 10 (0,87) = 8,7 m/s --- voy = vo sem 30° = 10 (0,5) = 5
m/s.
Verificando cada uma das
opções:
a) Altura máxima atingida em
relação ao ponto de lançamento --- Vy2=Voy2
– 2gh --- 02= Voy2 – 2gh --- h=Voz2g=52/10
---
h=2,5m --- em relação ao
solo --- H=2,5 + 10 --- H=12,5m
b) Tempo de subida --- Vy=Voy
– gt --- 0=5 – 10t --- t=0,5s
c) Com referencial no solo e
orientando a trajetória para cima, o tempo para chegar ao solo é calculado pela
função horária do espaço --- h=ho + Voyt – gt2/2
--- h=10 + 5t – 5t2 --- quando chega ao solo h=0 --- 0=10 + 5t
– 5t2 --- t2 – t – 5=0 --- resolvendo a
equação --- t @ 2,8 s.
d) Correta. Ao passar
novamente pela mesma altura a pedra possui a mesma energia potencial inicial
--- considerando o sistema
conservativo, então a pedra
tem também a mesma energia cinética, portanto a mesma velocidade, em módulo, ou
seja, se ela é lançada com velocidade de 10m/s, ao retornar passará por esse
mesmo ponto com velocidade de -10m/s.
R- D
28- Dados --- vo = 10 m/s; q = 45°; g = 10 m/s2.
Vox = vo
cos 45° = 10.√2/2 --- Vox=5√2m/s --- voy
= vo sen 45° = 5√2m/s --- no eixo y o movimento é
uniformemente variado, com a = –g --- tempo de subida (tsub),
notando que no ponto mais alto vy = 0 --- vy = voy
– g t --- 0 = 5√2 – 10 tsub ---
Tsub =√2/2
s --- tempo de subida é igual ao de descida --- tempo total (tt)
--- tt=2tsub --- tt=√2s --- no eixo
x o movimento é uniforme, com velocidade igual a vox --- alcance
horizontal (D) --- D = vox tt = 5.√2.√2
--- D=10m --- R- E
29- Dados: g = 10 m/s2; √2= 1,4; q = 45°; vo = 20 m/s.
a) Considere desprezível a
resistência do ar e que, ao matar a bola, o pé do artilheiro esteja bem próximo
ao chão --- então você pode considerar o ponto de lançamento e o ponto de
chegada pertencente a um mesmo plano horizontal --- no ponto mais alto a
componente vertical da velocidade (vy) é nula --- vy =
voy – g t Þ 0 = vosen q – g ts
--- 0=20.sen45o – 10ts --- ts=20.√2/2/10
--
ts=√2 s
--- tempo total =tsubida + tdescida --- ttotal=
√2 + √2 --- ttotal=2√2 s --- na horizontal o
movimento é uniforme --- velocidade Vx (constante) --- vx
= vo cos q = vo cos 45° = 20.√2/2 m/s --- Vx=10√2
m/s --- alcance horizontal --- x=Vx.t=(10√2).(2.√2)
--- x=40m
b) A velocidade média (vm)
do artilheiro pode ser calculada considerando que ele percorreu a distância (DS) de 16 m enquanto a bola esteve no ar --- Vm=ΔS/Δt=16/2√2
--- Vm=4√2=4.1,4 --- Vm=5,6m/s=20,16km/h
30- Analisando apenas a incorreta, que é a 02 --- a
componente horizontal está correta, pois no eixo x o movimento é uniforme,
porém, no eixo y, o movimento é uniformemente variado e a equação correta é
--- y = yo + voy t – gt2/2 --- yo=0
--- Voy=
Vo senθ ---
Y=(Vosenθ)t – gt2/2
R- (01 + 04 + 08 + 16)=29
31- Para
um observador no interior do trem que se desloca
em movimento retilíneo e uniforme, o alcance de um objeto lançado
horizontalmente só depende da intensidade da velocidade do objeto ---
assim,
caso a bola fosse arremessada em sentido oposto ao do deslocamento do
trem, a
distância entre o ponto de arremesso e o ponto de impacto também seria
igual a 5 m --- não haveria diferença, pois a queda só é influenciada
por g --- logo, seria 5m ao
contrário da origem --- R- B
32- O tempo de queda é calculado exclusivamente pelo
movimento vertical (queda livre da altura de 1m com a=g=10m/s2 ---
h=gt2/2 --- 1=10t2/2 --- t=√0,2 --- t=0,447s
--- R- C
33-
O tempo de subida é igual ao tempo de
descida o que ocorre quando Vy=0 --- Vy=Voy
– gt --- 0=Vosenθ – gt --- t=Vosenθ/g ---
tempo no ar --- ttotal=2t=2Vosenθ/g --- sendo 2Vo
e g constantes, o tempo de permanência no ar depende apenas do ângulo θ
com a horizontal --- quanto menor θ, menor será senθ e,
consequentemente menor ttotal --- R- B
